Модели упругости, трения, сопротивления и плавания тел

Механические модели упругости, трения, сопротивления среды и плавания описывают силы, которые нужно подставлять во второй закон Ньютона. При малых деформациях сила упругости линейна: $F=-kx$, а напряжение связано с относительным удлинением законом Гука $\sigma=E\varepsilon$; за пределом пропорциональности эта модель перестаёт быть верной. Сила сухого трения покоя принимает значения от нуля до $F_{\max}=\mu_s N$, тогда как сила трения скольжения приближённо постоянна: $F_k=\mu_k N$ и направлена против относительного движения. Сопротивление среды моделируют линейным $F=-bv$ при малых скоростях или квадратичным $F=-\frac12 C_D\rho A v^2$ при больших; установившаяся скорость достигается, когда сила сопротивления уравновешивает движущую силу. Плавание тел описывается законом Архимеда: $F_A=\rho_f V_{\text{disp}}g$; тело плавает, если $F_A=mg$, и тонет, если его средняя плотность превышает плотность жидкости. Все эти модели — идеализации с границами применимости, и их всегда используют вместе с законами Ньютона.

Прямая задача. Пружина жёсткостью $k=200\ \mathrm{N/m}$ растянута на $x=4\ \mathrm{cm}$. Найдите модуль и направление силы упругости.

Применение. Брусок массой $m=5\ \mathrm{kg}$ лежит на горизонтальном столе. Коэффициенты трения $\mu_s=0.5$ и $\mu_k=0.4$. К бруску прикладывают горизонтальную силу $F=30\ \mathrm{N}$. Сдвинется ли брусок и с каким ускорением он будет двигаться? Примите $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$.

Перенос. Деревянный куб с ребром $a=0.10\ \mathrm{m}$ и плотностью $\rho=600\ \mathrm{kg/m^3}$ плавает в воде ($\rho_f=1000\ \mathrm{kg/m^3}$). (а) Какая доля объёма куба погружена? (б) Какую минимальную массу нужно добавить на куб, чтобы его верхняя грань оказалась на уровне воды? Примите $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$.

Безопасное самостоятельное занятие: работайте в симуляции PhET 'Плавание и плотность' (Buoyancy) или аналогичной, без нагрева и опасных веществ.

1. Задайте плотность жидкости $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ и меняйте плотность тела от $200$ до $1200\ \mathrm{kg/m^3}$.
2. Для каждого случая запишите, плавает тело или тонет, и измерьте долю погружённого объёма.
3. Проверьте закон Архимеда: вычислите $F_A=\rho_f V_{\text{disp}}g$ и сравните с весом тела $mg$.
4. Постройте график зависимости доли погружения от отношения $\rho/\rho_f$ и объясните его вид.
5. Дополнительно, если доступна симуляция с сопротивлением среды, сравните линейную и квадратичную модели и определите установившуюся скорость.

Показать, как силы упругости, трения, сопротивления и Архимеда входят в уравнения движения и где лежат границы применимости каждой модели.

Комбинированная схема из трёх частей: (1) график закона Гука $F=-kx$ с отмеченным пределом пропорциональности; (2) график силы трения: при росте внешней силы $F_{\text{fr}}$ увеличивается до $\mu_s N$, затем скачком падает до $\mu_k N$; (3) диаграмма сил для тела в жидкости — вес $mg$ вниз, сила Архимеда $F_A$ вверх, сила сопротивления $F_d$ против скорости, а также график $F_d(v)$ с линейным и квадратичным участками.

Велосипедист с велосипедом общей массой $80\ \mathrm{kg}$ едет по прямому спуску с уклоном $8\%$ ($\sin\theta \approx 0.08$). Площадь сопротивления $C_d A = 0.40\ \mathrm{m^2}$, плотность воздуха $\rho = 1.2\ \mathrm{kg/m^3}$, коэффициент трения качения $\mu_r = 0.005$. При скорости $v = 12\ \mathrm{m/s}$: сила сопротивления воздуха $F_d = \frac{1}{2}\rho C_d A v^2 = 0.5 \cdot 1.2 \cdot 0.40 \cdot 144 = 34.6\ \mathrm{N}$, сила трения качения $F_r = \mu_r mg = 0.005 \cdot 80 \cdot 9.8 = 3.9\ \mathrm{N}$, составляющая силы тяжести вдоль спуска $mg\sin\theta = 80 \cdot 9.8 \cdot 0.08 = 62.7\ \mathrm{N}$. Первые две силы вместе дают $38.5\ \mathrm{N}$, поэтому велосипед ещё разгоняется. Постоянная скорость наступает, когда $0.24\,v^2 = 62.7 - 3.9$, то есть при $v = 15.6\ \mathrm{m/s} \approx 56\ \mathrm{km/h}$; на этой скорости воздух забирает уже $58\ \mathrm{N}$ из $62.7\ \mathrm{N}$ запаса высоты.

Сценарий задействует квадратичный закон сопротивления $F_d = \frac{1}{2}\rho C_d A v^2$ с коэффициентом $C_d$ и модель сухого трения $f = \mu N$, где $N = mg\cos\theta \approx mg$. Обе силы подставляются в уравнение движения вдоль наклонной плоскости, а постоянная скорость находится из условия равновесия $mg\sin\theta = F_r + F_d$.

Стальной канат подвески моста длиной $L = 12\ \mathrm{m}$ и площадью поперечного сечения $A = 4.0\ \mathrm{cm^2} = 4.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$ натянут силой $F = 60\ \mathrm{kN}$; модуль Юнга стали $E = 200\ \mathrm{GPa}$. Напряжение $\sigma = F/A = 6.0\times10^{4} / 4.0\times10^{-4} = 1.5\times10^{8}\ \mathrm{Pa} = 150\ \mathrm{MPa}$ — это ниже предела текучести конструкционной стали, поэтому деформация упругая. Относительное удлинение $\varepsilon = \sigma/E = 7.5\times10^{-4}$, абсолютное удлинение $\Delta L = \varepsilon L = 9.0\ \mathrm{mm}$. Жёсткость каната $k = EA/L = 6.7\times10^{6}\ \mathrm{N/m}$, поэтому добавочная нагрузка $1\ \mathrm{kN}$ удлиняет его ещё примерно на $0.15\ \mathrm{mm}$.

Сценарий задействует линейную упругость: закон Гука в форме $\sigma = E\varepsilon$ и его эквивалент для тела целиком, $F = k\Delta L$ с $k = EA/L$. Именно линейная связь напряжения и деформации (в пределах упругости) позволяет пересчитать силу натяжения в удлинение каната.

Паром массой $m = 480\ \mathrm{t} = 4.8\times10^{5}\ \mathrm{kg}$ стоит в морской воде с плотностью $\rho = 1025\ \mathrm{kg/m^3}$. Его вес $mg = 4.8\times10^{5} \cdot 9.8 = 4.70\times10^{6}\ \mathrm{N}$, поэтому он вытесняет объём $V = m/\rho = 4.8\times10^{5}/1025 = 468\ \mathrm{m^3}$ воды, и сила Архимеда $F_b = \rho V g$ как раз уравновешивает вес. Когда на борт берут $40\ \mathrm{t} = 4.0\times10^{4}\ \mathrm{kg}$ груза, нужен дополнительный вытесненный объём $4.0\times10^{4}/1025 = 39\ \mathrm{m^3}$; при площади ватерлинии около $700\ \mathrm{m^2}$ паром садится глубже примерно на $39/700 = 0.056\ \mathrm{m} = 5.6\ \mathrm{cm}$.

Сценарий задействует закон Архимеда: подъёмная сила $F_b = \rho_{ж} V_{выт} g$ равна весу вытесненной жидкости, а условие плавания $\rho_{ж} V_{выт} g = mg$ связывает массу судна с объёмом его подводной части и с осадкой.