Упругие и неупругие столкновения

При любом столкновении суммарный импульс замкнутой системы остаётся постоянным, так как силы взаимодействия внутренние и действуют равными и противоположными парами (третий закон Ньютона). Кинетическая энергия, однако, сохраняться не обязана: она может переходить во внутреннюю энергию, звук и деформацию. Столкновение называют упругим, если суммарная кинетическая энергия после удара равна суммарной кинетической энергии до него; в противном случае столкновение неупругое. При абсолютно неупругом столкновении тела соединяются и движутся с общей скоростью, а потеря кинетической энергии максимальна из возможных при сохранении импульса. Закон сохранения импульса векторный, поэтому он выполняется отдельно по каждой оси координат. Чтобы определить тип столкновения, сравнивайте величину $\sum \frac{1}{2}m v^2$ до и после удара, а не только скорости тел.

Полезные соотношения для одномерного случая:

$$p_1 + p_2 = p_1' + p_2' \quad \text{(всегда)},$$

$$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2'^2 \quad \text{(только упругий удар)}.$$

Для абсолютно неупругого удара второе уравнение заменяется условием $v_1' = v_2' = V$, откуда $V = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$.

Тележка массой $m_1 = 2$ кг движется со скоростью $v_1 = 4$ м/с по прямому горизонтальному рельсу без трения и сталкивается с покоящейся тележкой массой $m_2 = 3$ кг. Тележки сцепляются и далее движутся вместе. Найдите их общую скорость после столкновения.

Шар массой $m_1 = 2$ кг, движущийся со скоростью $v_1 = 3$ м/с, упруго сталкивается лоб в лоб с покоящимся шаром массой $m_2 = 1$ кг на гладкой горизонтальной поверхности. Найдите скорости обоих шаров после удара и проверьте оба закона сохранения.

Пуля массой $m = 0.010$ кг, летящая со скоростью $v = 400$ м/с, попадает в покоящийся деревянный брусок массой $M = 2.00$ кг, подвешенный на длинной нити, и застревает в нём (баллистический маятник). Найдите: (а) скорость бруска сразу после попадания; (б) максимальную высоту подъёма бруска; (в) долю кинетической энергии, перешедшую в тепло и деформацию.

План самостоятельной работы с симуляцией (безопасно, без реальных соударений с опасными скоростями).

1. Откройте симуляцию столкновений (например, PhET «Collision Lab» в браузере) и выберите два шара на прямой линии без трения.
2. Задайте $m_1 = 2$ кг, $m_2 = 3$ кг, $v_1 = 4$ м/с, $v_2 = 0$ м/с и включите отображение векторов импульса и значений кинетической энергии.
3. Поставьте ползунок упругости на 0 % (абсолютно неупругий удар). Запишите в таблицу суммарный импульс и суммарную энергию до и после удара.
4. Повторите опыт при 100 % (упругий удар) и при 50 % (частично неупругий удар).
5. Для каждого случая сравните измеренные значения с расчётом: $V = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$ для 0 % и $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$, $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$ для 100 %.
6. Сделайте вывод: какой из двух законов выполнялся во всех опытах, а какой только при упругом ударе. Симуляция используется потому, что реальные соударения на скорости порядка сотен метров в секунду (как у пули) опасны и недоступны для домашнего измерения.

Показать, что суммарный импульс сохраняется при любом столкновении, а суммарная кинетическая энергия — только при упругом, и что при абсолютно неупругом ударе тела движутся вместе.

Схема из двух частей: слева «до удара» и справа «после удара» — две тележки на рельсе со стрелками скоростей $v_1$, $v_2$ и $v_1'$, $v_2'$ (в неупругом случае одна общая стрелка $V$). Под схемой две столбиковые диаграммы: верхняя — суммарный импульс, столбики до и после одинаковой высоты; нижняя — суммарная кинетическая энергия, где для упругого удара столбики равны, а для неупругого столбик «после» ниже, и заштрихованная часть показывает энергию, перешедшую в тепло и деформацию.

Шар массой $0.17\ \text{kg}$ катится со скоростью $2.0\ \text{m/s}$ и лобово ударяет покоящийся шар такой же массы. При почти упругом ударе первый шар останавливается, а второй откатывается со скоростью около $2.0\ \text{m/s}$.

Это пример упругого удара: импульс системы сохраняется, и кинетическая энергия тоже сохраняется. Для одинаковых масс $m_1=m_2$ уравнения сохранения дают $v_1'=0$ и $v_2'=v_1$; проверка: $\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_2'^2$.

Вагон массой $20\,000\ \text{kg}$ движется со скоростью $1.5\ \text{m/s}$ и сцепляется с покоящимся вагоном такой же массы. После абсолютно неупругого удара вагоны едут вместе со скоростью $0.75\ \text{m/s}$.

Здесь выполняется абсолютно неупругий удар: импульс сохраняется, $m v = (m+m)v'$, поэтому $v' = v/2 = 0.75\ \text{m/s}$. Кинетическая энергия не сохраняется: начальная $E_k = \frac{1}{2}m v^2 = 22\,500\ \text{J}$, конечная $E_k' = \frac{1}{2}(2m)v'^2 = 11\,250\ \text{J}$; разность $11\,250\ \text{J}$ уходит в деформацию, тепло и звук.

Мяч массой $0.60\ \text{kg}$ падает с высоты $1.8\ \text{m}$ и ударяется о пол со скоростью $5.9\ \text{m/s}$; после отскока его скорость вверх $4.5\ \text{m/s}$.

Это частично неупругий удар: кинетическая энергия до удара $E_k = \frac{1}{2}mv^2 \approx 10.4\ \text{J}$, после $E_k' = \frac{1}{2}mv'^2 \approx 6.1\ \text{J}$, то есть около $4.3\ \text{J}$ переходит в деформацию мяча, тепло и звук. Импульс мяча меняется, но для системы мяч–Земля сохраняется; коэффициент восстановления $e = v'/v \approx 0.76$ показывает, насколько удар далёк от упругого.