Диффузия и броуновское движение: как хаос частиц создаёт порядок

Частицы газа, жидкости или раствора непрерывно и хаотически движутся; их средняя кинетическая энергия растёт с температурой, например $\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}k_B T$ для идеального газа.

Диффузия — это самопроизвольное перенесение вещества из области с большей концентрацией в область с меньшей: случайные блуждания частиц чаще уводят их из плотного места, чем возвращают обратно. Броуновское движение — наблюдаемое под микроскопом дрожание и смещение крупной взвешенной частицы (например, пылинки в воде), вызванное нескомпенсированными ударами множества молекул среды.

Оба явления — прямое следствие молекулярно-кинетической модели: внешний порядок (выравнивание концентрации, устойчивое хаотическое дрожание) рождается из беспорядочных столкновений. Коэффициент диффузии $D$ растёт с температурой и уменьшается с ростом размера частиц и вязкости среды. Для случайного блуждания средний квадрат смещения растёт линейно со временем: $\langle x^2 \rangle = 2Dt$, поэтому диффузия на большие расстояния идёт очень медленно, $t \sim L^2/D$.

Каплю чернил помещают в неподвижную воду при $20\ ^\circ\text{C}$. Через некоторое время вода окрашивается равномерно. Объясните распространение чернил через движение частиц и укажите, какое движение совершает отдельная частица чернил.

Коэффициент диффузии кислорода в воде при $20\ ^\circ\text{C}$ примерно равен $D = 2.1\times10^{-9}\ \text{m}^2/\text{s}$. Оцените время, за которое молекулы кислорода продиффундируют на среднее расстояние $L = 1\ \text{mm}$, используя $t \sim L^2/(2D)$.

В воде взвешена пыльцевая частица радиуса $r$. Приготовлены два образца: один при $20\ ^\circ\text{C}$, другой при $40\ ^\circ\text{C}$. (а) Предскажите, как отличается наблюдаемое броуновское дрожание в этих образцах. (б) В тёплый образец помещают вторую частицу вдвое большей массы; объясните, будет ли её дрожание больше или меньше, чем у первой частицы при той же температуре.

Наблюдение (бытовое, безопасное). Налейте в два чистых стакана воду: в один — комнатной температуры, в другой — тёплую из-под крана (не кипяток). Добавьте по одной капле пищевого красителя и, не перемешивая, отмечайте каждые 30 с время до равномерной окраски; зарисуйте фронт окраски. Сравните времена и объясните разницу температурой.

Моделирование (для молекулярного масштаба). Откройте интерактивную симуляцию (например, PhET «Diffusion» или «Gas Properties») и проследите траекторию одной частицы: убедитесь, что она ломаная и случайная, а концентрация выравнивается сама. Цветную воду не пейте; не нагревайте воду выше тёплой водопроводной.

Показать, как беспорядочные микроскопические блуждания дают направленный макроскопический поток при диффузии и как нескомпенсированные удары молекул заставляют крупную частицу дрожать.

Схема из двух панелей.

(а) Слева область с высокой концентрацией маленьких кружков (молекул), справа — с низкой; стрелки случайных блужданий направлены во все стороны, но суммарная стрелка потока направлена вправо, а под схемой — график концентрации $c(x)$, убывающий слева направо и выравнивающийся со временем.

(б) Крупный круг (броуновская частица) окружён маленькими молекулами; стрелки ударов с разных сторон не равны по длине, их результирующая $\vec F$ показана отдельно; ниже — ломаная траектория частицы (случайное блуждание) на плоскости.

Кубик сахара массой 4 г опускают в 200 мл чая при 80 °C. Сладкий вкус чувствуется примерно через минуту даже без перемешивания, а в таком же объёме холодного чая при 5 °C на это уходят минуты. Если рассмотреть крупинку сахара в лупу, её край размывается в воде задолго до того, как кубик исчезнет.

Молекулы сахара покидают кристалл и пересекают тонкий неперемешанный слой воды толщиной около $0.1\ \text{mm}$ у его поверхности только за счёт диффузии. При $D \approx 5\cdot10^{-10}\ \text{m}^2/\text{s}$ для сахарозы в воде соотношение случайного блуждания $\langle x^2\rangle = 2Dt$ даёт $t \approx x^2/(2D) = (10^{-4})^2/(2\cdot5\cdot10^{-10}) \approx 10\ \text{s}$ — именно на таком времени и появляется вкус. Нагревание чая повышает среднюю кинетическую энергию молекул воды и снижает вязкость, поэтому $D$ растёт и тот же слой проходится быстрее. Перемешивание остальных 200 мл в чашке происходит конвекцией при размешивании: одной диффузии на 5 см потребовались бы часы.

В литий-ионном аккумуляторе телефона литий запасается в частицах графита радиусом около $2\ \mu\text{m}$. При зарядке ионы лития входят в эти частицы; полная зарядка занимает около 1 ч при 20 °C и около 40 мин при 35 °C, а ниже 0 °C телефон может вообще отказаться от быстрой зарядки.

Внутри частицы графита никакого перемешивания нет: каждый ион лития перемещается случайными прыжками между позициями, поэтому время заполнения частицы задаёт соотношение случайного блуждания $t \approx r^2/(2D)$. При $r = 2\ \mu\text{m}$ и $D \approx 10^{-14}\ \text{m}^2/\text{s}$ при комнатной температуре $t \approx (2\cdot10^{-6})^2/(2\cdot10^{-14}) \approx 200\ \text{s}$ — это один из этапов, ограничивающих ток зарядки. Поскольку $D$ растёт с температурой, нагрев ускоряет прыжки; то же соотношение объясняет, почему холод замедляет зарядку и почему производители ограничивают ток.

Арматура автомобильного моста лежит примерно в 50 мм под поверхностью бетона. Зимой соль с дороги растворяется и создаёт у поверхности ионы хлора. При коэффициенте диффузии хлоридов в плотном бетоне около $10^{-12}\ \text{m}^2/\text{s}$ ионам нужно около 40 лет, чтобы достичь стали в заметной концентрации, — поэтому мосты проектируют на срок службы 50–100 лет и проверяют на коррозию.

Это диффузия в твёрдом теле: ионы хлора не текут потоком, а совершают случайное блуждание по воде в порах между зёрнами цемента. Глубина проникновения следует из $\langle x^2\rangle = 2Dt$, откуда $t = x^2/(2D) = (0.05)^2/(2\cdot10^{-12}) \approx 1.25\cdot10^9\ \text{s} \approx 40\ \text{years}$. Поскольку глубина растёт лишь как $\sqrt{t}$, удвоение срока службы требует вчетверо большего времени — задерживают коррозию именно толстый защитный слой бетона или гидроизоляционные мембраны, а не немного более толстый поверхностный слой.