Затухание, вынуждение, резонанс и автоколебания

Свободный гармонический осциллятор подчиняется $m\ddot{x}+kx=0$, но реальные системы теряют энергию. Затухание вводится силой сопротивления, часто $F_{\mathrm{drag}}=-b\dot{x}$, так что уравнение принимает вид $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$; безразмерный параметр $\zeta=b/(2\sqrt{km})$ разделяет недокритический, критический и закритический режимы. При периодическом внешнем воздействии $F(t)=F_0\cos\omega t$ решение содержит затухающую переходную часть и установившуюся часть на частоте вынуждения. Амплитуда установившихся колебаний равна $A(\omega)=F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}$, а резонанс наступает вблизи $\omega\approx\omega_0=\sqrt{k/m}$; при наличии затухания максимум смещается к $\omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}$, где $\beta=b/(2m)$. Автоколебания — это не вынуждение извне, а поддержание колебаний самой системой через обратную связь и отрицательное трение, что приводит к предельному циклу; примеры — маятник часов, скрипичная струна, электронный генератор.

Осциллятор имеет $m=1\ \mathrm{kg}$, $k=100\ \mathrm{N/m}$ и $b=8\ \mathrm{kg/s}$. Определите $\omega_0$, $\beta$, $\zeta$ и $\omega_d$; классифицируйте режим.

Для системы $m=1\ \mathrm{kg}$, $k=100\ \mathrm{N/m}$ добавлено вынуждение $F(t)=F_0\cos\omega t$ с $F_0=10\ \mathrm{N}$ и $b=2\ \mathrm{kg/s}$. Найдите установившуюся амплитуду при $\omega=8\ \mathrm{rad/s}$ и при $\omega=\omega_0=10\ \mathrm{rad/s}$. Сравните.

Автогенератор ван дер Поля описывается уравнением $\ddot{x}-\mu(1-x^2)\dot{x}+\omega_0^2 x=0,\qquad \mu=0.5,\ \omega_0=2\ \mathrm{rad/s}.$ Определите знак эффективного трения при $x=0.5$ и $x=1.5$. Объясните, почему система приходит к предельному циклу без внешней периодической силы, и чем это отличается от резонанса.

Проведите безопасное самообучение с интерактивным симулятором (например, PhET «Resonance» или построение графиков в электронной таблице). Зафиксируйте $m$ и $k$, меняйте $b$ и частоту вынуждения $\omega$, записывайте установившуюся амплитуду и фазовый сдвиг; постройте семейство кривых $A(\omega)$ и отметьте резонанс. Затем в отдельной симуляции с отрицательным трением (модель ван дер Поля) наблюдайте предельный цикл на фазовой плоскости $x$–$\dot{x}$. Не используйте громкий звук, высокое напряжение или хрупкие механические конструкции для достижения резонанса.

Цель визуализации — показать, как затухание ограничивает и смещает резонансный пик, как меняется фаза и чем предельный цикл автоколебаний отличается от вынужденного резонанса.

График зависимости нормированной амплитуды $A/(F_0/k)$ от $\omega/\omega_0$ для нескольких значений $\zeta$; рядом — фазовая диаграмма $\dot{x}$ от $x$ для осциллятора с отрицательным трением, на которой виден предельный цикл.

Универсал: подрессоренная масса на одном колесе $m = 350\ \text{kg}$, жёсткость пружины $k = 30\ \text{kN/m}$, коэффициент сопротивления амортизатора $c = 1500\ \text{N·s/m}$. Собственная частота подвески $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{30000/350} \approx 9.3\ \text{rad/s}$, то есть около $1.5\ \text{Hz}$. После «лежачего полицейского» кузов качается примерно $1\ \text{s}$ и успокаивается.

Это решение уравнения затухающего осциллятора $m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0.$ При $\zeta = c/(2\sqrt{km}) \approx 0.23 < 1$ система слабо затухающая: $x(t) = A e^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \varphi)$, где $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2} \approx 9.1\ \text{rad/s}$, а время затухания $1/(\zeta\omega_0) \approx 0.47\ \text{s}$ — поэтому одна кочка даёт один-два заметных кивка, а не долгое раскачивание.

Длина подвеса $L = 2.5\ \text{m}$, поэтому $\omega_0 = \sqrt{g/L} = \sqrt{9.81/2.5} \approx 1.98\ \text{rad/s}$ и период $T = 2\pi/\omega_0 \approx 3.2\ \text{s}$. Взрослый толкает раз в период с силой около $20\ \text{N}$ в течение $0.3\ \text{s}$. Размах растёт до примерно $35^\circ$ и дальше не увеличивается.

Это вынужденный осциллятор $m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0\cos\omega t,$ установившаяся амплитуда которого $A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}$ максимальна вблизи $\omega = \omega_0$. Толчок раз в $3.2\ \text{s}$ попадает точно в резонанс, а предельный размах задаёт баланс между работой толчка за цикл и потерями на сопротивление воздуха и трение в подвесе.

Маятник длиной $L = 1.0\ \text{m}$ имеет $T = 2\pi\sqrt{L/g} \approx 2.0\ \text{s}$; груз массой $m = 0.5\ \text{kg}$ качается с амплитудой $2^\circ \approx 0.035\ \text{rad}$. Гиря массой $4\ \text{kg}$ опускается на $1.0\ \text{m}$ за сутки, отдавая $4 \times 9.81 \times 1.0 \approx 39\ \text{J}$ в сутки — в среднем около $0.45\ \text{mW}$. Амплитуда держится постоянной неделями.

Это автоколебания: анкерный ход даёт короткий толчок в каждом полупериоде, привязанный к собственному движению маятника, а не к внешней силе с чужой частотой. Система сама задаёт период $T$. Постоянная амплитуда устанавливается там, где энергия, вносимая за цикл опускающейся гирей, равна потерям на трение и сопротивление воздуха, — это предельный цикл нелинейного осциллятора с обратной связью.