Затухающие и вынужденные колебания: энергия, резонанс и практика

Затухающие колебания возникают, когда кроме возвращающей силы $F=-kx$ действует сопротивление, пропорциональное скорости: $F_{\text{сопр}}=-bv$. Второй закон Ньютона даёт тогда $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$, и при слабом затухании решение имеет вид $x(t)=A_0e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi)$, где $\gamma=b/(2m)$ — коэффициент затухания. Энергия убывает вдвое быстрее амплитуды: $E(t)\approx\frac12 kA_0^2e^{-2\gamma t}$, а за один период теряется доля $\Delta E/E\approx 2\pi/Q$, где добротность $Q=m\omega_0/b=\omega_0/(2\gamma)$. Вынужденные колебания описываются уравнением $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos\omega t$; после затухания переходного процесса устанавливаются колебания с частотой силы и амплитудой $A(\omega)=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\gamma^2\omega^2}}.$ Максимум этой кривой — резонанс: при слабом затухании $\omega_{\text{рез}}\approx\omega_0$, а высота пика $\sim F_0/(2m\gamma\omega_0)$ растёт при уменьшении $b$. Поэтому практический анализ сводится к двум вопросам: как быстро система теряет энергию и как велика её амплитуда при внешнем воздействии.

Осциллятор массы $m=0{,}50$ кг на пружине $k=20$ Н/м имеет коэффициент сопротивления $b=0{,}40$ кг/с. Найти $\omega_0$, $\gamma$, $Q$ и время, за которое амплитуда уменьшается вдвое.

Тот же осциллятор ($m=0{,}50$ кг, $k=20$ Н/м, $b=0{,}40$ кг/с) приводится в движение силой $F(t)=F_0\cos\omega t$ с $F_0=1{,}0$ Н. Найти установившуюся амплитуду на резонансе, запасённую энергию и энергию, рассеиваемую за один период; сравнить последнюю с оценкой $2\pi/Q$.

Кузов автомобиля массой $m=400$ кг (на одно колесо) опирается на пружину $k=2{,}0\cdot 10^4$ Н/м. Неровности дороги действуют как вынуждающая сила с амплитудой $F_0=200$ Н. Подберите коэффициент демпфирования $b$ так, чтобы установившаяся амплитуда на резонансе не превышала $5{,}0$ см, и укажите получившиеся $Q$ и ширину полосы $\Delta\omega$.

Моделирование резонанса (безопасная самопроверка). Откройте интерактивное моделирование вынужденного осциллятора (например, «Masses and Springs» или любую модель вынужденного затухающего осциллятора).

1. Задайте $m$, $k$ и два значения $b$: малое и в 4 раза большее; вычислите $\gamma$, $Q$ и $\Delta\omega\approx2\gamma$ заранее.
2. Медленно изменяйте частоту привода от $0{,}5\omega_0$ до $1{,}5\omega_0$ с шагом $0{,}1\omega_0$, каждый раз дожидаясь установившихся колебаний, и записывайте амплитуду.
3. Постройте график $A(\omega/\omega_0)$ для обоих значений $b$ и сравните измеренную высоту пика с $F_0/(2m\gamma\omega_0)$, а ширину — с $2\gamma$.
4. Отключите привод и измерьте по графику время уменьшения амплитуды вдвое; сравните с $\ln 2/\gamma$.

Дополнительно (только безопасные измерения): подвесьте маятник и рядом — такой же маятник с приклеенной картонной лопаткой; отпустите оба и считайте амплитуду каждые 5 колебаний. Картонка увеличивает сопротивление воздуха, поэтому её амплитуда спадает быстрее: оцените $\gamma$ по формуле $A(t)=A_0e^{-\gamma t}$. Не раскачивайте реальные конструкции и не создавайте резонанс в бытовых устройствах.

Показать, как демпфирование одновременно понижает и уширяет резонансный пик, и связать потери энергии с огибающей затухания.

График: по оси абсцисс — безразмерная частота $\omega/\omega_0$, по оси ординат — нормированная амплитуда $A/(F_0/k)$; три кривые для $Q=5$, $20$ и $100$, полученные из $A(\omega)=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\gamma^2\omega^2}},$ с отмеченными точками максимума $\omega_{\text{рез}}\approx\omega_0$ и отрезками ширины $\Delta\omega\approx2\gamma$. На врезке — эскиз затухания: график $x(t)$ с огибающими $\pm A_0e^{-\gamma t}$ и пометкой доли потерянной за период энергии $\Delta E/E\approx2\pi/Q$.

Автомобиль массой $1500\ \text{kg}$ проезжает «лежачего полицейского» на $30\ \text{km/h}$ и выезжает на бетонное шоссе, где деформационные швы идут через каждые $20\ \text{m}$. Суммарная жёсткость четырёх пружин $k=1.2\times10^{5}\ \text{N/m}$, поэтому подпрыгивание кузова имеет собственную частоту $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}=1.4\ \text{Hz}$. При $90\ \text{km/h}=25\ \text{m/s}$ колёса бьют по шву каждые $20/25=0.8\ \text{s}$, то есть с частотой $1.25\ \text{Hz}$ — почти как $f_0$ — и кузов начинает заметно раскачиваться. Гидравлические амортизаторы это снимают: при коэффициенте затухания $\zeta=0.3$ амплитуда за один свободный период падает в $e^{2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\approx7$ раз, поэтому после одиночного толчка кузов успокаивается примерно за $1\ \text{s}$.

Свободные колебания кузова описываются уравнением $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$ с $c=2\zeta\sqrt{km}$: амплитуда убывает по закону $A(t)=A_0e^{-\gamma t}$, где $\gamma=\zeta\omega_0$ (здесь $\gamma\approx2.6\ \text{s}^{-1}$). Неровности дороги играют роль внешней периодической силы $F_0\cos\omega t$: отклик максимален вблизи $\omega\approx\omega_0$, то есть при $f\approx1.4\ \text{Hz}$, что и даёт раскачивание на $90\ \text{km/h}$.

Ребёнок массой $30\ \text{kg}$ качается на качелях с подвесом длиной $2.5\ \text{m}$: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{g/l}=0.31\ \text{Hz}$, период $T=3.2\ \text{s}$. Взрослый толкает один раз за период, в нижней точке, по направлению движения: сила $20\ \text{N}$ на пути $0.3\ \text{m}$ совершает работу $6\ \text{J}$, то есть около $12\ \text{J}$ за цикл (средняя мощность $3.8\ \text{W}$). При амплитуде $30^\circ$ запасённая энергия $E=mgl(1-\cos 30^\circ)\approx99\ \text{J}$, и за цикл на сопротивление воздуха и трение в подвесе теряется примерно десятая часть, так что $Q=2\pi E/\Delta E\approx50$; толчки ровно восполняют эти потери. Если толкать не в такт, например раз в $2\ \text{s}$ ($0.5\ \text{Hz}$, в $1.6$ раза выше $f_0$), амплитуда остаётся маленькой.

Это вынужденные колебания: работа внешней силы за цикл положительна только тогда, когда сила совпадает по фазе со скоростью, а это выполняется вблизи $\omega_0$ — на вершине резонансной кривой $A(\omega)$. Без толчков качели — затухающий осциллятор с $A(t)=A_0e^{-\gamma t}$, и установившийся режим наступает, когда работа толчков за цикл равна диссипации за цикл.

Барабан стиральной машины с мокрым бельём массой $25\ \text{kg}$ вращается при отжиме со скоростью $1200\ \text{rpm}=20\ \text{Hz}$. Барабан держится на пружинах в корпусе, собственная частота этой подвески всего около $2\ \text{Hz}$. За время разгона примерно $30\ \text{s}$ скорость вращения проходит через $2\ \text{Hz}$: именно в этот момент корпус трясётся сильнее всего, и только фрикционные демпферы удерживают размах колебаний в несколько сантиметров вместо роста в $Q\approx10$ раз. Комок мокрой ткани $m=0.2\ \text{kg}$ на радиусе $r=0.25\ \text{m}$ создаёт вращающуюся силу $F=mr\omega^2=0.2\cdot0.25\cdot(2\pi\cdot20)^2\approx790\ \text{N}$ на полной скорости — но при $\omega/\omega_0\approx10$ корпус почти не движется.

Здесь работают обе части теории: амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний с максимумом при $\omega_0=\sqrt{k/m}$ (проход через резонанс при разгоне) и её спад при $\omega\gg\omega_0$ (спокойный отжим на $20\ \text{Hz}$). Коэффициент затухания $\zeta$ задаёт высоту и ширину резонансного пика, а энергетический баланс вынужденного осциллятора означает: за цикл дисбаланс вносит работу $\propto F\cdot A$, и её ровно уносят демпферы в виде тепла.