Работа и мощность тока и КПД источника

В полной цепи источник с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ соединён с внешним участком сопротивлением $R$.

Закон Ома для полной цепи даёт ток $I = \dfrac{\varepsilon}{R+r}$, а напряжение на внешнем участке равно $U = IR = \varepsilon - Ir$.

Работа тока на участке с напряжением $U$ равна $A = UIt$; для резистора те же формулы принимают вид $A = I^2Rt = \dfrac{U^2}{R}t$, а мощность $P = UI = I^2R = \dfrac{U^2}{R}$.

Для источника различают три мощности:

• полная (затрачиваемая) $P_{\text{полн}} = \varepsilon I$;
• полезная (во внешней цепи) $P_{\text{полезн}} = UI = I^2R$;
• потери внутри источника $P_{\text{потерь}} = I^2r$.

КПД источника — это отношение полезной мощности к полной:

$$\eta = \frac{P_{\text{полезн}}}{P_{\text{полн}}} = \frac{U}{\varepsilon} = \frac{R}{R+r}.$$

При $R \to \infty$ КПД растёт к единице, но ток и полезная мощность стремятся к нулю; максимум полезной мощности достигается при $R = r$, и тогда $\eta = 0{,}5$.

Источник имеет ЭДС $\varepsilon = 12$ В и внутреннее сопротивление $r = 1$ Ом; внешнее сопротивление $R = 5$ Ом. Найдите ток в цепи, полезную мощность, полную мощность и КПД источника.

Электронагреватель сопротивлением $R = 10$ Ом подключён к аккумулятору с ЭДС $\varepsilon = 12$ В и внутренним сопротивлением $r = 2$ Ом и работает $t = 5$ мин. Найдите работу тока в нагревателе, энергию, выделившуюся внутри источника, и КПД этой цепи.

Источник имеет ЭДС $\varepsilon$ и внутреннее сопротивление $r$, внешнее сопротивление $R$ можно менять. Докажите, что полезная мощность максимальна при $R = r$, и найдите это максимальное значение и КПД источника в этом режиме.

Проведите измерение в симуляции (например, PhET «Конструирование электрических цепей» или аналогичной). Соберите цепь: источник с $\varepsilon = 12$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом, последовательно с ним амперметр и переменный резистор $R$, параллельно резистору — вольтметр.

1. Задавайте $R$: 0,2; 0,5; 1; 2; 4; 8 Ом. Для каждого значения запишите ток $I$ и напряжение $U$.
2. Вычислите $P_{\text{полезн}} = UI$, $P_{\text{полн}} = \varepsilon I$ и $\eta = U/\varepsilon$.
3. Постройте графики $P_{\text{полезн}}(R)$ и $\eta(R)$ и проверьте, что максимум полезной мощности приходится на $R \approx r$.

Работайте только с низковольтной симуляцией; не собирайте эту цепь с сетевым напряжением.

Показать, что полезная мощность и КПД источника зависят от отношения $R/r$ по-разному, и что их максимумы не совпадают.

График: по горизонтальной оси — отношение $R/r$ (от 0 до 10), по вертикальной — нормированные величины. Кривая полезной мощности $P_{\text{полезн}}/(\varepsilon^2/4r)$ проходит через максимум $1$ при $R/r = 1$ и спадает к нулю в обе стороны. Кривая КПД $\eta = \dfrac{R/r}{R/r + 1}$ монотонно растёт от $0$ к $1$ и при $R/r = 1$ равна $0{,}5$. Режим наибольшей полезной мощности отмечен вертикальной штриховой линией $R = r$.

Зарядное устройство подаёт на аккумулятор телефона напряжение $5\ \text{В}$ при токе $3\ \text{А}$ в течение $30\ \text{мин}$. За это время источник совершает работу $W = UIt = 5 \cdot 3 \cdot 1800 = 27\,000\ \text{Дж} = 27\ \text{кДж}$, а в аккумулятор попадает заряд $q = It = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\ \text{А·ч}$ — примерно треть ёмкости батареи $4000\ \text{мА·ч}$. Корпус телефона при этом заметно нагревается.

Здесь работают формулы мощности $P = UI = 15\ \text{Вт}$ и работы $W = UIt$; та часть энергии, которая уходит на нагрев корпуса и внутреннего сопротивления, а не в химическую реакцию заряда, и определяет КПД процесса зарядки.

Чайник мощностью $2000\ \text{Вт}$ при напряжении $220\ \text{В}$ нагревает $1{,}5\ \text{л}$ воды от $20$ до $100\ ^\circ\text{C}$. Для этого нужно $Q = cm\Delta T = 4200 \cdot 1{,}5 \cdot 80 = 504\,000\ \text{Дж}$. При полной мощности на это ушло бы $t = Q/P \approx 250\ \text{с}$, но реально чайник закипает примерно за $300\ \text{с}$.

Используются $P = UI$ (мощность тока) и $W = Pt$ (работа тока). Расхождение между расчётным $250\ \text{с}$ и наблюдаемым $300\ \text{с}$ — это потери тепла через стенки и крышку, из-за которых КПД чайника меньше единицы: $\eta \approx 250/300 \approx 83\ \%$.

Автомобильный аккумулятор имеет ЭДС $\varepsilon = 12\ \text{В}$ и внутреннее сопротивление $r = 0{,}05\ \text{Ом}$. Стартер потребляет ток $I = 100\ \text{А}$. Напряжение на клеммах проседает до $U = \varepsilon - Ir = 12 - 100 \cdot 0{,}05 = 7\ \text{В}$. Полезная мощность $UI = 700\ \text{Вт}$, потери внутри аккумулятора $I^2 r = 500\ \text{Вт}$, полная мощность источника $\varepsilon I = 1200\ \text{Вт}$, КПД $\eta = U/\varepsilon = 7/12 \approx 58\ \%$.

Прямо применяется закон Ома для полной цепи $\varepsilon = I(R + r)$: КПД источника $\eta = U/\varepsilon = R/(R+r)$ падает, когда внешнее сопротивление $R = 0{,}07\ \text{Ом}$ сравнимо с внутренним, а потерянная мощность $I^2 r$ нагревает аккумулятор.