Выбор физической модели для описания явления: практикум

Выбор физической модели — это первый шаг решения задачи: сначала решаем, чем можно пренебречь, и только потом считаем. Кандидаты почти всегда берутся из уже изученных тем: материальная точка, абсолютно твёрдое тело, идеальный газ, геометрическая оптика, волновая модель, классическая или квантовая частица. У каждой модели есть список допущений, и она работает, пока эти допущения выполняются. Практический приём — оценить характерные величины и составить безразмерное отношение: например, $L/r$ для материальной точки, $a/\lambda$ для геометрической оптики, $\lambda/L$ для квантовости. Если отношение много больше или много меньше единицы, выбор однозначен; если оно порядка единицы, мы на границе модели и описание нужно усложнять. Выбранную модель проверяют по предсказаниям: совпадение с измерением в пределах погрешности — свидетельство в её пользу, систематическое расхождение — сигнал сменить модель.

Спутник размером $L = 5$ м движется по круговой орбите радиуса $r = 7{,}0\times10^{6}$ м. Можно ли описывать его движение моделью материальной точки? Проверку выполните по безразмерному отношению.

Звук частотой $f = 1000$ Гц ($v = 343$ м/с) проходит через дверной проём шириной $a = 0{,}9$ м, а свет с длиной волны $\lambda = 550$ нм — через то же отверстие. Для каждого случая решите, какая модель нужна: геометрическая оптика (прямолинейные лучи) или волновая (дифракция). Ответ обоснуйте отношением $a/\lambda$.

Нужно решить, описывать ли как классическую частицу (а) футбольный мяч $m = 0{,}43$ кг, летящий со скоростью $v = 25$ м/с, и (б) электрон с кинетической энергией $E = 10$ эВ. Критерий — отношение длины волны де Бройля $\lambda = h/p$ к размеру $L$ объекта ($L \approx 0{,}22$ м для мяча, $L \approx 0{,}3$ нм для атомного масштаба в кристалле).

Цель: своими глазами увидеть, где кончается геометрическая оптика и начинается волновая, и получить числовое решающее правило.

Где работать: только в симуляции — PhET «Wave Interference» (режим одной щели/дифракции) или аналогичной. Реальный лазер в глаз или на людей направлять нельзя.

1. Задайте $\lambda = 500$ нм и ширину щели $a = 20\lambda$. Зарисуйте картину за щелью — это «геометрическая» область (узкая полоса, почти тень).
2. Уменьшайте щель: $10\lambda$, $5\lambda$, $2\lambda$, $1\lambda$, $0{,}5\lambda$. Для каждого значения записывайте отношение $a/\lambda$ и зарисовывайте картину.
3. Отметьте, при каком $a/\lambda$ центральный максимум перестаёт быть узкой полосой и заметно уширяется.
4. Сформулируйте своё правило: например, «$a/\lambda \gtrsim 20$ — геометрическая модель, $a/\lambda \lesssim 5$ — волновая».
5. Проверьте правило на второй длине волны ($\lambda = 650$ нм) и запишите, подтвердилось ли оно. Если нет — исправьте границы.

Безопасность: работаем только с симуляцией; если дополнительно слушаете тон через дверной проём, держите умеренную громкость и не создавайте помех другим.

Показать, что выбор модели — это не вкусовое предпочтение, а проверяемое решающее правило, основанное на безразмерном отношении характерных величин.

Блок-схема. Сверху — рамка «Явление и вопрос». Из неё выходят три ветви-кандидата: «материальная точка / твёрдое тело», «волновая / геометрическая», «классическая / квантовая». В каждой ветви — своя проверка отношения с порогом: $L/r \ll 1$, $a/\lambda$ (порог около 20), $\lambda/L$ (порог около 1). Внизу две рамки-исхода: «модель годится — считаем» и «границы модели — усложняем описание», причём от второй идёт стрелка назад к списку кандидатов. Сбоку — три маленькие схемы: точка на орбите с отрезком $r$; щель шириной $a$ и волновые фронты с длиной волны $\lambda$; частица с приписанной ей синусоидой длины $\lambda$.

Штрафной удар с $25\ \text{m}$: мяч массой $m = 0{,}43\ \text{kg}$ летит со скоростью $v = 25\ \text{m/s}$ и держится в воздухе около $1{,}0\ \text{s}$. Модель «материальная точка в поле тяжести» предсказывает за это время снижение на $\frac{1}{2} g t^2 \approx 4{,}9\ \text{m}$ при весе $mg \approx 4{,}2\ \text{N}$. Оценка силы сопротивления воздуха $F_d \approx \frac{1}{2} \rho C_d A v^2$ при $\rho = 1{,}2\ \text{kg/m}^3$, $C_d \approx 0{,}25$ и площади сечения $A \approx 0{,}038\ \text{m}^2$ даёт $F_d \approx 3{,}6\ \text{N}$ — это тот же порядок величины, что и $mg$.

Это упражнение по выбору модели: сравнивая $F_d$ и $mg$, мы проверяем допущение идеальной механической модели «точка без сопротивления среды» и решаем, достаточно ли механики материальной точки или нужна аэродинамика с силой Магнуса от вращения мяча. Критерий выбора — отношение характерных сил и допустимая погрешность предсказания траектории.

Чайник мощностью $P = 1{,}5\ \text{kW}$ нагревает $m = 1{,}0\ \text{kg}$ воды от $20\ ^\circ\text{C}$ до $100\ ^\circ\text{C}$ при $c = 4200\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$. Энергобаланс без потерь даёт $t = \frac{m c \Delta T}{P} = \frac{1{,}0 \cdot 4200 \cdot 80}{1500} \approx 224\ \text{s}$. Секундомер показывает около $250\ \text{s}$, то есть примерно на $10\ \%$ больше: средняя поглощаемая мощность равна $1344\ \text{W}$, а разница $P - 1344\ \text{W} \approx 156\ \text{W}$ уходит в окружающую среду.

Выбирается между двумя тепловыми моделями: замкнутой системой с идеальной теплоизоляцией ($Q_{\text{эл}} = Q_{\text{нагрев}}$) и системой с тепловыми потерями. Расхождение $224\ \text{s}$ и $250\ \text{s}$ — экспериментальная проверка допущения об отсутствии потерь; по разнице мощностей оценивают, нужна ли модель с потерями.

Телефон принимает сигнал Wi-Fi на частоте $f = 2{,}4\ \text{GHz}$. Длина волны $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot 10^8}{2{,}4\cdot 10^9} = 0{,}125\ \text{m}$. Комната шириной $5\ \text{m}$ — это $40\lambda$, поэтому внутри комнаты распространение хорошо описывается геометрическим (лучевым) приближением. Дверной проём $0{,}9\ \text{m}$ — всего $7\lambda$, и у его краёв заметна дифракция; стена толщиной $0{,}25\ \text{m}$ — это $2\lambda$, поэтому прошедшая волна сильно ослабляется.

Требуется выбрать между лучевой моделью (прямолинейное распространение, отражение) и волновой (дифракция, интерференция). Критерий — отношение размера препятствия или проёма $a$ к длине волны $\lambda$: при $a \gg \lambda$ работает луч, при $a \sim \lambda$ — волновая картина. Значение $\lambda$ здесь берётся из $v = \lambda f$ для электромагнитной волны со скоростью $c$.