Закон Кулона и суперпозиция электрических полей

Закон Кулона задаёт силу взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме:

$$F=k\,\frac{|q_1q_2|}{r^{2}},\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9.0\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}.$$

Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются, а по третьему закону Ньютона силы, действующие на $q_1$ и $q_2$, равны по модулю и противоположны по направлению.

Поле неподвижного точечного заряда на расстоянии $r$ от него равно

$$\vec{E}=k\,\frac{q}{r^{2}}\,\hat{r},\qquad \vec{F}=q_0\vec{E},$$

где $\hat{r}$ — единичный вектор, направленный от заряда в точку наблюдения.

Принцип суперпозиции утверждает, что поле системы зарядов есть векторная сумма полей отдельных зарядов: $\vec{E}=\sum_i \vec{E}_i$; складывать нужно именно векторы, поэтому их удобно раскладывать на компоненты, $\vec{E}=E_x\hat{x}+E_y\hat{y}$.

Наконец, любой расчёт поля опирается на законы Ньютона: найдя $\vec{E}$, силу, действующую на пробный заряд $q_0$, получают как $\vec{F}=q_0\vec{E}$.

Два точечных заряда $q_1=+2.0\ \mu\text{C}$ и $q_2=-3.0\ \mu\text{C}$ находятся на расстоянии $r=0.30\ \text{m}$ друг от друга. Найдите модуль и направление силы, действующей на заряд $q_2$, и силу, действующую на $q_1$. Примите $k=9.0\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$.

Точечные заряды $q_1=+5.0\ \text{nC}$ и $q_2=+5.0\ \text{nC}$ закреплены в точках $(0,\,0)$ и $(0.60,\,0)$ м. Найдите вектор напряжённости и его модуль в точке $P(0.30,\,0.40)$ м.

Заряды $q_1=+9.0\ \text{nC}$ и $q_2=+4.0\ \text{nC}$ закреплены в точках $x=0$ и $x=0.50\ \text{m}$ на оси $Ox$. Найдите координату точки, в которой результирующее поле равно нулю. Есть ли другие такие точки?

Безопасная самопроверка в симуляции (без реальных высоких напряжений и без работы с заряженными конденсаторами).

1. Откройте интерактивную модель электрического поля (например, PhET «Charges and Fields»). Поместите $q_1=+5.0\ \text{nC}$ в начало координат, а $q_2=+5.0\ \text{nC}$ — в точку $(0.60,\,0)$ м.
2. Датчиком поля измерьте $\vec{E}$ в точке $(0.30,\,0.40)$ м и сравните с расчётом $(0,\ 288)\ \text{N/C}$; при необходимости переключите датчик на показ компонент $E_x$ и $E_y$.
3. Перемещайте датчик вдоль оси $Ox$ с шагом $0.05$ м и записывайте $E_x$; убедитесь, что при $x=0.30$ м поле обращается в нуль (равные одноимённые заряды компенсируются в середине отрезка).
4. Замените $q_2$ на $-5.0\ \text{nC}$ и повторите измерения: нулевой точки между зарядами больше нет, потому что поля направлены одинаково; объясните это через направления единичных векторов $\hat{r}_i$.
5. Итог: запишите для контрольной точки равенство $\vec{E}=\sum_i k q_i\hat{r}_i/r_i^{2}$ с подставленными числами и сверьте его с показаниями датчика.

Показать, что результирующее поле в точке есть векторная сумма полей отдельных зарядов, и что точка нулевого поля лежит между одноимёнными зарядами.

Схема: два положительных заряда $q_1$ и $q_2$ на оси $Ox$; в точке $P$ проведены стрелки $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ вдоль единичных векторов $\hat{r}_1$ и $\hat{r}_2$ и построен параллелограмм их суммы $\vec{E}$. Рядом — график зависимости $E_x(x)$ вдоль оси $Ox$ с нулём в точке $x=0.30$ м.

После трения полиэтиленовой плёнки о шерстяную ткань на ней оказывается заряд $q_1 = +8\,\mathrm{nC}$; перчинка имеет заряд $q_2 = -2\,\mathrm{nC}$ на расстоянии $r = 1.5\,\mathrm{cm}=0.015\,\mathrm{m}$. Модуль силы Кулона: $F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9\times10^9 \frac{8\times10^{-9}\cdot 2\times10^{-9}}{(0.015)^2} \approx 6.4\times10^{-4}\,\mathrm{N}.$ Вес перчинки массы $m=0.05\,\mathrm{g}=5\times10^{-5}\,\mathrm{kg}$ равен $mg \approx 4.9\times10^{-4}\,\mathrm{N}$, то есть электрическое притяжение сравнимо с весом и может поднять её.

Сценарий использует закон Кулона: сила обратно пропорциональна $r^2$; при увеличении расстояния до $3\,\mathrm{cm}$ сила падает до $1.6\times10^{-4}\,\mathrm{N}$.

В облаке два компактных заряженных центра: $Q_1 = -10\,\mathrm{C}$ на высоте $h_1=600\,\mathrm{m}$ и $Q_2 = -15\,\mathrm{C}$ на высоте $h_2=900\,\mathrm{m}$ над одной точкой земли. Поле каждого в этой точке: $E_1 = k\frac{|Q_1|}{h_1^2} = 9\times10^9\frac{10}{600^2} = 2.5\times10^5\,\mathrm{V/m},$ $E_2 = k\frac{|Q_2|}{h_2^2} = 9\times10^9\frac{15}{900^2} \approx 1.67\times10^5\,\mathrm{V/m}.$ Оба вектора направлены вверх, поэтому суперпозиция даёт $E = E_1+E_2 \approx 4.17\times10^5\,\mathrm{V/m}.$ Это меньше пробойного значения $3\times10^6\,\mathrm{V/m}$, но дополнительные заряженные центры могут сложить поле до пробоя.

Сценарий тренирует векторную суперпозицию полей точечных зарядов: при параллельных векторах модули складываются, а при непараллельных нужно складывать по правилу параллелограмма.

На сухом искусственном покрытии игрок A получает заряд $q_A=+4\,\mu\mathrm{C}$, игрок B — $q_B=+6\,\mu\mathrm{C}$ на расстоянии $r_{AB}=1.5\,\mathrm{m}$, а игрок C — $q_C=+2\,\mu\mathrm{C}$ ровно посередине между A и B. Сила на C со стороны A: $F_{AC}=k\frac{q_A q_C}{(0.75)^2}=9\times10^9\frac{4\times10^{-6}\cdot 2\times10^{-6}}{0.5625}\approx 0.128\,\mathrm{N}$ направлена вправо. Со стороны B: $F_{BC}=k\frac{q_B q_C}{(0.75)^2}=9\times10^9\frac{6\times10^{-6}\cdot 2\times10^{-6}}{0.5625}\approx 0.192\,\mathrm{N}$ направлена влево. Равнодействующая на C: $F_{\text{net}} = 0.192 - 0.128 = 0.064\,\mathrm{N}$ влево.

Здесь работает суперпозиция сил Кулона: каждая пара зарядов даёт свою силу, а результирующая находится векторным сложением. Если масса C $m=70\,\mathrm{kg}$, второй закон Ньютона даёт $a=F_{\text{net}}/m \approx 9.1\times10^{-4}\,\mathrm{m/s^2}$.