Закон сохранения импульса и реактивное движение

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов её частей: $\vec p = \sum_i m_i \vec v_i = M \vec v_c,$ где $M$ — полная масса, а $\vec v_c$ — скорость центра масс. Второй закон Ньютона в импульсной форме, $\Delta \vec p = \vec F_{\text{ext}}\,\Delta t$, показывает, что импульс системы изменяют только внешние силы. Если система замкнута — внешние силы отсутствуют или их векторная сумма равна нулю, — то $\Delta \vec p = 0$ и $\vec p = \text{const}$: это и есть закон сохранения импульса. Внутренние силы (выстрел, отталкивание, взрыв, разрыв) перераспределяют импульс между телами, но не меняют его сумму, поэтому разные части системы получают противоположные приращения импульса: $m_1 \Delta \vec v_1 = -\,m_2 \Delta \vec v_2$. Реактивное движение — прямое следствие этого закона: ракета приобретает импульс вперёд, потому что газы выбрасываются назад. В дифференциальной форме баланс импульса имеет вид $m\,dv = u\,dm_{\text{gas}}$ (для бесконечно малого выброса газа; приближённое равенство $m\,\Delta v \approx u\,\Delta m_{\text{gas}}$ применимо только при очень малом $\Delta m_{\text{gas}}$), где $u$ — скорость газов относительно ракеты. Для конечного сгорания топлива массой $\Delta m_{\text{gas}}$ это соотношение нужно интегрировать, что даёт формулу Циолковского $\Delta v = u\ln\frac{m_0}{m_f},$ где $m_0$ и $m_f$ — начальная и конечная массы ракеты.

Тележка массой $m_1 = 2.0$ кг движется по гладкому горизонтальному рельсу со скоростью $v_1 = 3.0\ \text{m/s}$ и сцепляется с неподвижной тележкой массой $m_2 = 1.0$ кг. Найдите скорость тележек сразу после сцепки.

Человек массой $M = 60$ кг стоит на гладком льду и держит мяч массой $m = 5.0$ кг. Он бросает мяч горизонтально со скоростью $v = 8.0\ \text{m/s}$ относительно льда. С какой скоростью и в каком направлении поедет человек?

Ракета в глубоком космосе имеет начальную массу $m_0 = 800$ кг, из которых $600$ кг — топливо. Скорость истечения газов относительно ракеты $u = 500\ \text{m/s}$. Двигатель сжигает $200$ кг топлива. Пренебрегая внешними силами, найдите приращение скорости ракеты и укажите его направление.

Опыт с воздушным шариком-ракетой (безопасно, дома). Протяните нить длиной $2$–$3$ м между двумя стульями, наденьте на неё соломинку, прикрепите к соломинке надутый шарик (горловину закрыть прищепкой) и отпустите горловину. Отметьте направления движения шарика и струи воздуха — они противоположны. Затем численная проверка в симуляции: откройте PhET «Collision Lab», задайте упругость $0$ (слипание) и, меняя массы и начальные скорости, для каждого запуска посчитайте $\sum m_i v_i$ до и после столкновения. Занесите результаты в таблицу и убедитесь, что сумма сохраняется в пределах погрешности округления. Не используйте открытое пламя, пиротехнику и сжатые газы: все наблюдения проводите только с воздушным шариком или в симуляции.

Показать, что при взаимодействии меняются отдельные импульсы, но их сумма остаётся неизменной, и что реактивное движение есть симметричный обмен импульсом между ракетой и струёй газов.

Схема из двух панелей. (а) Столкновение: две тележки до и после сцепки, стрелки импульсов $m_1 v_1$ и $(m_1+m_2)v$; рядом столбчатая диаграмма «суммарный импульс до / после» с равными высотами столбцов. (б) Реактивное движение: ракета, стрелка газовой струи $u\,\Delta m_{\text{gas}}$ вниз и стрелка ракеты $m\,\Delta v$ вверх, рядом запись $m_1 \Delta v_1 = -\,m_2 \Delta v_2$.

Биатлонист стреляет из винтовки массой $m_1 = 3{,}5$ кг пулей массой $m_2 = 10$ г. Пуля вылетает горизонтально со скоростью $v_2 = 700$ м/с, а винтовка упирается в плечо.

Суммарный импульс системы «пуля + винтовка» вдоль ствола до выстрела равен нулю, так как внешние горизонтальные силы пренебрежимо малы. После выстрела импульсы пули и винтовки равны по модулю и противоположны: $m_1 v_1 = m_2 v_2$, откуда скорость отдачи $v_1 = \dfrac{m_2 v_2}{m_1} \approx 2$ м/с. Это прямое следствие закона сохранения импульса: внутренние силы давления пороховых газов меняют импульсы тел по отдельности, но не суммарный импульс.

Надутый воздушный шарик массой $m_1 = 4$ г отпускают, не завязав отверстие. За время $t = 0{,}5$ с из него выходит воздух массой $m_2 = 6$ г, который относительно кухни летит назад со скоростью $v_2 = 12$ м/с. Шарик устремляется в противоположную сторону.

До отпускания суммарный импульс системы «шарик + воздух» был равен нулю, и внешние силы (тяжесть и сопротивление воздуха) за $0{,}5$ с не успевают заметно его изменить. Поэтому после выхода воздуха $m_1 v_1 = m_2 v_2$, и шарик приобретает скорость $v_1 = \dfrac{m_2 v_2}{m_1} = 18$ м/с. Реактивное движение здесь — движение тела за счёт отделения от него части массы: вылетающая струя воздуха уносит импульс, а шарик получает равный по модулю импульс обратного направления.

Человек массой $m_1 = 70$ кг прыгает с неподвижной лодки массой $m_2 = 140$ кг в горизонтальном направлении со скоростью $v_1 = 3$ м/с. Вода практически не мешает движению лодки в первые мгновения.

Импульс системы «человек + лодка» до прыжка равен нулю. После прыжка сумма импульсов остаётся нулевой: $m_1 v_1 = m_2 v_2$, поэтому лодка отходит назад со скоростью $v_2 = \dfrac{m_1 v_1}{m_2} = 1{,}5$ м/с. Это пример реактивного движения: человек отталкивается от лодки, и оба тела разлетаются так, что их общий импульс не меняется. Одновременно центр масс системы остаётся на месте, пока горизонтальные внешние силы отсутствуют.