Инженерный компромисс: плавучесть и эффективность в проектировании судов

Плавучий корпус должен вытеснить воду, вес которой равен его полному весу: $m g = \rho g V_d$, поэтому необходимое объёмное водоизмещение равно $V_d = m/\rho$, где $m$ — масса порожнём плюс масса груза.

Для коробчатого корпуса $V_d = C_B L B T$, значит, вместимость можно «купить» длиной, шириной или осадкой — но осадка ограничена фарватером и причалами, а ширина — шлюзами и габаритами акватории.

Конкурируют две величины: запас плавучести, растущий с объёмом ($\sim L^3$ для геометрически подобных корпусов), и сопротивление трения, растущее со смоченной поверхностью $S \sim L^2$.

Так как полезная транспортная работа $W = F d$, а тяговая мощность $P = F v$, энергозатраты на тонно-километр равны $e = P/(m_c v) = R/m_c$, где $m_c$ — масса груза; поскольку $S/V \sim 1/L$, геометрически подобный (а значит, и более глубоко сидящий) корпус при увеличении размеров становится эффективнее: удвоение всех размеров уменьшает $e$ примерно вдвое.

При фиксированной осадке это соотношение нарушается: площадь днища $V_d/T$ постоянна, поэтому $S$ минимальна у компактного, почти квадратного в плане корпуса ($L \approx B$), и одно лишь удлинение уже не снижает $e$.

Поэтому проектировщик ищет компромисс между вместимостью и расходом топлива, с одной стороны, и остойчивостью и надводным бортом, массой конструкции, ограничениями по осадке и размерам шлюзов, скоростью и мореходностью — с другой, а мерой успеха служит полный КПД $\eta = W_{\text{useful}}/E_{\text{input}}$.

Коробчатый понтон имеет размеры $L = 20$ м, $B = 6.0$ м и предельно допустимую осадку $T = 1.5$ м (выше вода доходит до палубы). Масса порожнём $m_0 = 30$ т, плотность воды $\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$. Какова наибольшая масса груза $m_c$, которую понтон может перевезти?

Два корпуса геометрически подобны: все размеры корпуса B вдвое больше, чем у корпуса A. При эксплуатационной скорости сопротивление определяется трением, $R = k S$, где $k = 30\ \text{N/m}^2$. Корпус A имеет смоченную поверхность $S_A = 1500\ \text{m}^2$ и перевозит груз $m_A = 2000$ т, корпус B — $m_B = 16\,000$ т. Выведите выражение для удельных энергозатрат $e = R/m_c$, вычислите $e_A$ и $e_B$ в кДж на тонно-километр и укажите, какой проект экономичнее.

Шлюз имеет длину 60 м и ширину 10 м, а глубина фарватера ограничивает осадку значением 4.0 м. Масса порожнём каждой коробчатой баржи, вписывающейся в шлюз, равна 500 т. Заказчику нужно перевезти 8000 т груза.

(а) Найдите груз одной баржи и необходимое число баржей.

(б) Сравните смоченную поверхность на тонну груза у флота и у гипотетического корпуса без ограничений с таким же полным водоизмещением при $T = 4.0$ м (для него минимум $S$ даёт компактный план $L = B$).

(в) Назовите две причины, по которым проектировщик всё же может предпочесть флот малых барж.

Численный проектный эксперимент (моделирование в таблице). Стройте модель баржи в электронной таблице, а не загружайте настоящее судно.

1. Входные данные: $\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$, требуемое водоизмещение $V_d = 9200\ \text{m}^3$, предельная осадка $T = 4.0$ м.
2. Для $L$ от 30 до 200 м вычислите $B = V_d/(L T)$, затем $S = L B + 2(L+B)T$ и метрику $S/V_d$ в $\text{m}^2$ на тонну.
3. Постройте график $S/V_d$ от $L$, найдите минимум и заштрихуйте область, запрещённую шлюзом $60 \times 10$ м.
4. Добавьте вторую кривую: для геометрически подобного масштабирования (все размеры умножаются на $k$) постройте $S/V_d$ и проверьте, что она убывает примерно как $1/L$.
5. Запишите три предложения: какой корпус вы выберете и какое ограничение обошлось дороже всего.

Безопасность. Работайте только с числами. Если хочется физической проверки, пустите герметично закрытую пластиковую коробочку плавать в тазу с водой; не ставьте рядом приборы, включённые в сеть, не добавляйте балласт в настоящую лодку и не входите в воду.

Показать, что при свободном масштабировании запас плавучести растёт быстрее смоченной поверхности, и что при фиксированной осадке оптимальная форма в плане меняется — это и есть суть проектного компромисса.

Эскиз из двух панелей. Слева: вид сбоку и вид в плане двух геометрически подобных коробчатых корпусов с размерами $L$ и $2L$, подписанными величинами $V_d$ и $S$, чтобы было видно рост $V_d$ как $L^3$ и $S$ как $L^2$. Справа: график зависимости $S/V_d$ (в $\text{m}^2$ на тонну) от длины $L$: кривая (а) для свободного (геометрически подобного) масштабирования убывает как $1/L$; кривая (б) для фиксированной осадки $T = 4.0$ м имеет минимум вблизи $L = B$ и растёт для более длинных корпусов; вертикальная заштрихованная полоса отмечает длины, запрещённые шлюзом 60 м.

Балкер имеет площадь ватерлинии около $A = 2000\ \text{м}^2$ и плавает в морской воде с $\rho = 1025\ \text{кг/м}^3$. Экипаж хочет принять $m = 6000\ \text{т} = 6{,}0\times10^6\ \text{кг}$ железной руды. Каждая дополнительная тонна должна вытеснить свой объём воды: $\Delta V = m/\rho \approx 5{,}9\times10^3\ \text{м}^3$, поэтому корпус садится глубже на $\Delta d = \Delta V/A \approx 2{,}9\ \text{м}$. Грузовая марка допускает ещё только около 2,5 м погружения, пока надводный борт остаётся достаточным для зимней Северной Атлантики, так что примерно 875 т руды остаются на причале.

Условие плавания $mg = \rho g V$ задаёт, сколько воды обязано вытеснить судно данной массы; деление на площадь ватерлинии $A$ превращает этот объём в осадку $d = m/(\rho A)$. Выбор между массой груза и запасом плавучести (высотой надводного борта) — это и есть рассматриваемый компромисс.

Гоночная восьмёрка имеет длину $L \approx 17\ \text{м}$ и ширину $B \approx 0{,}6\ \text{м}$, что даёт площадь ватерлинии $A \approx 7\ \text{м}^2$. Лодка $96\ \text{кг}$ плюс восемь гребцов по $75\ \text{кг}$ — всего $696\ \text{кг}$; в пресной воде надо вытеснить $V = 0{,}70\ \text{м}^3$, и лодка сидит всего на $d = V/A \approx 10\ \text{см}$. Тузик длиной 4 м с двумя людьми общей массой $270\ \text{кг}$ вытесняет $V = 0{,}27\ \text{м}^3$, но его короткий широкий корпус имеет большую смоченную поверхность, поэтому при той же мощности гребцов около $2\ \text{кВт}$ восьмёрка идёт примерно $5\ \text{м/с}$, а тузик — менее $2\ \text{м/с}$.

Обе лодки подчиняются условию $mg = \rho g V$, поэтому вытесняемый объём задан массой; конструктор выбирает площадь ватерлинии $A$ и форму корпуса, которыми этот объём создаётся. Смоченная поверхность, а значит и сила сопротивления, зависят от этого выбора, поэтому одна и та же потребность в плавучести обходится очень разной мощностью.

Паром массой $100\ \text{т}$ должен вытеснить $V = 1{,}0\times10^5\ \text{кг} / 1025\ \text{кг/м}^3 \approx 98\ \text{м}^3$. Как однокорпусное судно с площадью ватерлинии $120\ \text{м}^2$ он сидит на $d = 98/120 \approx 0{,}82\ \text{м}$ — слишком глубоко для фарватера, про dredged to 0.9 м с запасом. Если разделить тот же объём на два корпуса с суммарной площадью ватерлинии $150\ \text{м}^2$, осадка падает до $d \approx 0{,}65\ \text{м}$, но выросшая смоченная поверхность увеличивает полное сопротивление при $8\ \text{м/с}$ примерно с 22 кН до 26 кН; при пропульсивном КПД $\eta = 0{,}55$ мощность на валу растёт с $Fv/\eta \approx 320\ \text{кВт}$ до примерно $378\ \text{кВт}$.

Плавучесть фиксирует только вытесняемый объём $V = m/\rho$; то, как этот объём распределён по площади ватерлинии, задаёт осадку и тем самым определяет, в какие гавани судно может войти. Дополнительная смоченная поверхность двухкорпусной схемы оплачивается сопротивлением $F$, а через КПД $\eta = P_{\text{полезн}}/P_{\text{затр}}$ — расходом топлива на рейс.