Электроёмкость, конденсаторы и энергия электрического поля

Из темы о потенциале мы знаем, что между двумя проводниками можно создать разность потенциалов $U = \varphi_1 - \varphi_2$, и перенос заряда с одного проводника на другой требует работы. Электроёмкость — это отношение накопленного заряда к напряжению: $C = \frac{Q}{U},$ она измеряется в фарадах ($1\ \mathrm{F} = 1\ \mathrm{C}/\mathrm{V}$). Ёмкость задаётся геометрией и средой, а не зарядом: для плоского конденсатора $C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d},$ где $S$ — площадь пластины, $d$ — расстояние между пластинами, $\varepsilon$ — относительная диэлектрическая проницаемость. Между пластинами поле практически однородно, $E = U/d$, а энергия заряженного конденсатора равна $W = \frac{CU^2}{2} = \frac{Q^2}{2C} = \frac{QU}{2}.$ Эту энергию удобно приписать самому полю: в вакууме объёмная плотность энергии составляет $w = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}.$ Наконец, при параллельном соединении ёмкости складываются, а при последовательном складываются обратные величины: $C_{\text{eq}} = C_1 + C_2$ и $1/C_{\text{eq}} = 1/C_1 + 1/C_2$.

Плоский конденсатор имеет площадь пластин $S = 1.0\cdot10^{-2}\ \mathrm{m^2}$ и расстояние между ними $d = 2.0\ \mathrm{mm}$; между пластинами вакуум ($\varepsilon = 1$). Найдите: а) электроёмкость $C$; б) заряд $Q$ при напряжении $U = 200\ \mathrm{V}$; в) напряжённость поля $E$ между пластинами.

Два конденсатора $C_1 = 6.0\ \mu\mathrm{F}$ и $C_2 = 3.0\ \mu\mathrm{F}$ соединены последовательно и подключены к источнику с напряжением $U = 90\ \mathrm{V}$. Найдите эквивалентную ёмкость, заряд каждого конденсатора, напряжения на них и полную запасённую энергию.

Конденсатор $C_1 = 10\ \mu\mathrm{F}$, заряженный до напряжения $U_0 = 100\ \mathrm{V}$, подключают параллельно к незаряженному конденсатору $C_2 = 10\ \mu\mathrm{F}$. Найдите конечное напряжение, начальную и конечную энергию системы и объясните, почему энергии не совпадают.

Безопасный домашний практикум на симуляции (без реальных высоких напряжений).

1. Откройте симуляцию PhET «Capacitor Lab: Basics» и выберите режим конденсатора с изменяемой геометрией.
2. Зафиксируйте напряжение источника $U = 1.5\ \mathrm{V}$ и, меняя расстояние $d$ (например, от $1\ \mathrm{mm}$ до $5\ \mathrm{mm}$), записывайте измеренную ёмкость $C$ и заряд $Q$ в таблицу.
3. Постройте график $C$ от $1/d$. Убедитесь, что точки ложатся на прямую, и найдите её наклон; сравните с $\varepsilon_0 S$ для выбранной площади $S$.
4. При фиксированных $S$ и $d$ меняйте $U$, записывайте $Q$ и $W$, постройте график $W$ от $U^2$ и проверьте его линейность с наклоном $C/2$.
5. Запишите вывод: подтверждают ли измерения формулы $C = \varepsilon_0 S/d$, $Q = CU$ и $W = CU^2/2$.

Важно: все измерения проводите только в симуляции. Не собирайте реальные цепи с сетевым напряжением и не превышайте безопасные низковольтные источники (до $12\ \mathrm{V}$), если работаете с настоящими деталями.

Показать, как геометрия конденсатора и напряжение определяют заряд, поле и запасённую энергию, и связать эти величины с формулами урока.

Схема + графики. Слева: плоский конденсатор — две параллельные пластины площадью $S$ на расстоянии $d$, обозначены заряды $+Q$ и $-Q$, напряжение $U$, однородное поле $E = U/d$ показано равноотстоящими силовыми линиями от положительной пластины к отрицательной. Справа сверху: график $C$ от $1/d$ — прямая с наклоном $\varepsilon_0 S$, проходящая через начало координат. Справа снизу: график $W$ от $U^2$ — прямая с наклоном $C/2$. Подписи к графикам показывают, что площадь пластин и расстояние меняют ёмкость, а напряжение — запасённую энергию при фиксированной ёмкости.

Конденсатор вспышки в телефоне имеет ёмкость $C = 100\ \mu\text{F}$ и заряжается преобразователем до $U = 300\ \text{V}$. Перед снимком в нём запасена энергия $E = \tfrac{1}{2}CU^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 100\cdot 10^{-6}\ \text{F}\cdot (300\ \text{V})^2 = 4.5\ \text{J},$ а заряд обкладок равен $Q = CU = 30\ \text{mC}$. Импульс длится $t = 1\ \text{ms}$, поэтому средняя мощность разряда $P = E/t = 4.5\ \text{kW}$; от батареи $3.7\ \text{V}$ это потребовало бы около $1200\ \text{A}$, что невозможно.

Сценарий использует формулу энергии заряженного конденсатора $E = \tfrac{1}{2}CU^2 = \tfrac{1}{2}QU$ вместе со связью $Q = CU$: энергия накапливается в электрическом поле между обкладками и потому может быть отдана за миллисекунды как импульс мощности в киловатты.

Под стеклом смартфона лежит сетка прозрачных электродов; взаимная ёмкость пары электродов $C_0 \approx 10\ \text{pF}$, и на них подано $U = 1.8\ \text{V}$. Заряд этой пары $Q = C_0U = 10\cdot 10^{-12}\ \text{F}\cdot 1.8\ \text{V} = 18\ \text{pC}$. Поднесённый палец меняет ёмкость примерно на $\Delta C \approx 1\ \text{pF}$, то есть на $10\%$, и контроллер фиксирует изменение заряда $\Delta Q \approx 1.8\ \text{pC}$ при том же $U$.

Работают связь $Q = CU$ и зависимость ёмкости от геометрии и диэлектрика, $C = \varepsilon\varepsilon_0 S/d$: палец — проводник, а его влажная ткань — диэлектрик с $\varepsilon \approx 40$, поэтому поле между электродами искажается, ёмкость пары падает, и датчик измеряет перезаряд $\Delta Q$ при известном напряжении $U$.

Облако и Землю можно приблизить плоским конденсатором: площадь основания облака $S = 1\ \text{km}^2 = 10^6\ \text{m}^2$, расстояние $d = 1\ \text{km} = 10^3\ \text{m}$, тогда $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8.85\cdot 10^{-12}\cdot 10^6}{10^3} \approx 8.9\ \text{nF}.$ Перед разрядом поле достигает $E = 10^5\ \text{V/m}$, значит напряжение $U = Ed = 10^8\ \text{V}$, заряд $Q = CU \approx 0.9\ \text{C}$, а запасённая энергия $\tfrac{1}{2}CU^2 \approx 44\ \text{MJ}$ — столько же, сколько в аккумуляторе электромобиля.

Применяются и определение ёмкости $C = Q/U$, и энергия электрического поля $\tfrac{1}{2}QU$; между облаком и Землёй поле почти однородно, а сами они — почти эквипотенциальные поверхности, что и позволяет считать систему плоским конденсатором.