Сила Архимеда и плавание тел: расчёт и условия

Давление в жидкости растёт с глубиной по закону $p=\rho_f g h$, поэтому на нижнюю поверхность погружённого тела жидкость давит сильнее, чем на верхнюю, и равнодействующая сил давления направлена вертикально вверх. Эту выталкивающую силу называют силой Архимеда:

$$F_A=\rho_f g V_{\text{disp}},$$

где $\rho_f$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{\text{disp}}$ — объём вытесненной жидкости, равный объёму погружённой части тела.

Тело плавает в равновесии, когда сила Архимеда уравновешивает вес: $F_A=mg$. Подставив $m=\rho_b V$ и $F_A=\rho_f g V_{\text{disp}}$, получаем условие плавания $\dfrac{V_{\text{disp}}}{V}=\dfrac{\rho_b}{\rho_f}$. Если $\rho_b>\rho_f$, тело тонет, потому что вес превышает максимально возможную силу Архимеда; если $\rho_b=\rho_f$, тело плавает полностью погружённым, не касаясь дна.

Куб объёмом $V=2.0\times10^{-3}\,\text{m}^3$ полностью погружён в воду плотностью $\rho_f=1000\,\text{kg/m}^3$. Найдите силу Архимеда, действующую на куб. Примите $g=9.8\,\text{m/s}^2$.

Деревянный брусок плотностью $\rho_b=600\,\text{kg/m}^3$ плавает в воде ($\rho_f=1000\,\text{kg/m}^3$). Какая доля объёма бруска погружена? Какой станет эта доля в керосине ($\rho_f=800\,\text{kg/m}^3$)?

Полый герметичный шар имеет общую массу $m=2.0\,\text{kg}$ и общий объём $V=4.0\times10^{-3}\,\text{m}^3$. Шар опускают в воду ($\rho_f=1000\,\text{kg/m}^3$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$). (а) Утонет ли он? (б) Какая часть объёма окажется под водой? (в) Какую минимальную массу нужно добавить внутрь шара, чтобы он погрузился целиком (объёмом добавленного груза пренебречь)?

Самопроверка в симуляции (безопасный формат). Откройте симуляцию PhET «Плавание и плотность» (Buoyancy) и работайте только в ней: опыты с открытым огнём, кислотами и бытовыми жидкостями неизвестного состава не проводите.

1. Поставьте плотность жидкости $\rho_f=1000\,\text{kg/m}^3$. Возьмите 5 материалов с плотностями от 200 до 2000 $\text{kg/m}^3$ и для каждого запишите в таблицу: $\rho_b$, наблюдается ли плавание и какая доля объёма под водой.
2. Для каждого плавающего тела вычислите теоретическую долю $\dfrac{V_{\text{disp}}}{V}=\dfrac{\rho_b}{\rho_f}$ и сравните с наблюдением.
3. Повторите опыт с жидкостями $\rho_f=800\,\text{kg/m}^3$ и $\rho_f=1300\,\text{kg/m}^3$ и сформулируйте вывод о том, как плотность жидкости влияет на глубину погружения.
4. Проверьте крайние случаи: $\rho_b=\rho_f$ и $\rho_b>\rho_f$.

Показать, что сила Архимеда возникает из разности давлений на нижнюю и верхнюю поверхности тела, и что доля погружённого объёма линейно зависит от отношения плотностей $\rho_b/\rho_f$.

Схема и график. Слева — эскиз куба в жидкости: на верхнюю грань действует направленная вниз сила $p_{\text{top}}A$, на нижнюю — направленная вверх сила $p_{\text{bottom}}A$, между гранями отмечена высота $\Delta h$; равнодействующая показана стрелкой $F_A$ вверх. Справа — график: по вертикальной оси $V_{\text{disp}}/V$, по горизонтальной оси $\rho_b/\rho_f$; прямая проходит из точки $(0,0)$ в точку $(1,1)$, а область $\rho_b/\rho_f>1$ отмечена пунктиром как зона, где тело тонет.

Человек массой $70$ кг лежит на воде. Его вес равен $mg = 70 \cdot 9{,}81 = 687$ Н. В пресной воде бассейна ($\rho = 1000$ кг/м³) для уравновешивания веса нужно вытеснить объём

$$V = \frac{mg}{\rho g} = \frac{687}{1000 \cdot 9{,}81} = 0{,}070 \text{ м}^3.$$

В воде Мёртвого моря ($\rho = 1240$ кг/м³) тот же вес уравновешивается меньшим объёмом:

$$V = \frac{687}{1240 \cdot 9{,}81} = 0{,}0565 \text{ м}^3.$$

Поэтому в солёной воде тело погружено меньше — вода «выталкивает» его сильнее.

Здесь работает условие плавания $F_A = mg$ вместе с формулой силы Архимеда $F_A = \rho g V$: при равновесии вытесненный объём задаётся отношением массы тела к плотности жидкости.

Судно массой $200\,000$ т $= 2{,}0 \cdot 10^8$ кг имеет вес $1{,}96 \cdot 10^9$ Н. В реке ($\rho = 1000$ кг/м³) оно вытесняет

$$V = \frac{1{,}96 \cdot 10^9}{1000 \cdot 9{,}81} = 2{,}00 \cdot 10^5 \text{ м}^3,$$

а в морской воде ($\rho = 1025$ кг/м³) —

$$V = \frac{1{,}96 \cdot 10^9}{1025 \cdot 9{,}81} = 1{,}95 \cdot 10^5 \text{ м}^3.$$

Разница составляет около $5{,}1 \cdot 10^3$ м³; при площади ватерлинии $5000$ м² осадка уменьшается примерно на $1{,}0$ м.

Ситуация проверяет условие плавания судна: сила Архимеда $F_A = \rho g V$ уравновешивает постоянный вес, поэтому при переходе в более плотную воду нужен меньший вытесненный объём и меньшая осадка.

Кубик льда массой $20$ г $= 0{,}020$ кг и плотностью $917$ кг/м³ занимает объём $21{,}8$ см³ и весит $mg = 0{,}020 \cdot 9{,}81 = 0{,}196$ Н. Для равновесия он вытесняет

$$V = \frac{0{,}196}{1000 \cdot 9{,}81} = 2{,}00 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 20 \text{ см}^3,$$

то есть под водой находится $20/21{,}8 = 0{,}917$ его объёма, а над поверхностью — около $1{,}8$ см³ (примерно $8\%$).

Это прямое применение условия плавания $F_A = mg$: вытесняется ровно такой объём воды, масса которого равна массе льда, поэтому доля погружённой части равна отношению плотностей $\rho_{\text{льда}}/\rho_{\text{воды}}$.