Угловая кинематика и полное ускорение

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси положение точки удобно задавать углом поворота $\theta$, а не радиус-вектором $\vec r$ напрямую. Тогда угловая скорость $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ и угловое ускорение $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ играют ту же роль, что линейная скорость и ускорение при прямолинейном движении: при $\alpha = \text{const}$ справедливы формулы

$$\omega = \omega_0 + \alpha t, \qquad \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2, \qquad \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0).$$

Связь с линейными величинами получается дифференцированием положения точки на окружности: $s = r\theta$, $v = \omega r$, $a_t = \alpha r$ и $a_n = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}$. Радиус-вектор, перемещение, скорость и ускорение из предыдущей темы здесь применяются именно к точке, движущейся по окружности. Полное ускорение точки складывается из тангенциальной $\vec a_t$ (по касательной, вдоль скорости) и центростремительной $\vec a_n$ (к центру) составляющих: $\vec a = \vec a_t + \vec a_n$, поэтому $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$. Направление полного ускорения задаётся углом $\varphi$ между ним и радиусом: $\tan\varphi = \frac{a_t}{a_n}$.

Колесо вращается с постоянным угловым ускорением. В момент $t = 0$ его угловая скорость $\omega_0 = 2.0$ рад/с, угловое ускорение $\alpha = 3.0$ рад/с², начальный угол $\theta_0 = 0$. Найдите угловую скорость при $t = 4.0$ с и угловое перемещение за это время.

Точка находится на ободе диска радиуса $r = 0.25$ м. В некоторый момент угловая скорость диска $\omega = 6.0$ рад/с, угловое ускорение $\alpha = 4.0$ рад/с². Найдите модуль полного ускорения этой точки и угол между полным ускорением и радиусом.

Точка на ободе вращающегося диска радиуса $r = 0.50$ м имеет в данный момент модуль полного ускорения $a = 5.0$ м/с² и модуль тангенциального ускорения $a_t = 3.0$ м/с². Угловое ускорение постоянно. Найдите: (а) центростремительное ускорение; (б) угловую скорость в этот момент; (в) угловую скорость через $1.0$ с; (г) угол между полным ускорением и радиусом.

Безопасный план самостоятельной работы (симуляция). Не используйте реальные вращающиеся механизмы — дрели, сверлильные станки, вентиляторы со снятой защитой: это опасно. Работайте с интерактивной симуляцией вращающегося диска (например, PhET «Ladybug Revolution» или аналогичной).

1. Задайте радиус $r = 0.50$ м, начальную угловую скорость $\omega_0 = 2.0$ рад/с и угловое ускорение $\alpha = 1.5$ рад/с².
2. В моменты $t = 0, 1, 2, 3$ с запишите значения $\omega$ и вычислите $a_t = \alpha r$, $a_n = \omega^2 r$, $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$.
3. Сравните вычисленные значения с векторами ускорения, которые показывает симуляция, и с таблицей.
4. Увеличьте радиус вдвое, не меняя $\omega$ и $\alpha$, и проверьте, что $a_t$ и $a_n$ выросли пропорционально $r$.
5. Сделайте вывод: какая составляющая полного ускорения определяет его направление при малых и при больших $\omega$?

Показать, что полное ускорение точки вращающегося тела есть векторная сумма тангенциального и центростремительного ускорений, и как их направления связаны с радиус-вектором и скоростью.

Схема: окружность радиуса $r$ с центром $O$; точка $P$ на ободе; радиус-вектор $\vec r$ из $O$ в $P$; вектор скорости $\vec v$ направлен по касательной; вектор $\vec a_t$ лежит вдоль $\vec v$ (или против неё при торможении); вектор $\vec a_n$ направлен от $P$ к центру; результирующий вектор $\vec a$ построен по правилу параллелограмма на $\vec a_t$ и $\vec a_n$. Рядом подписаны формулы $a_t = \alpha r$, $a_n = \omega^2 r$, $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$ и угол $\varphi$ между $\vec a$ и радиусом.

Машина въезжает на кольцевую развязку радиусом $R = 25$ м со скоростью $v_0 = 8.0$ м/с и равноускоренно увеличивает её до $v = 14$ м/с за $t = 4.0$ с, двигаясь по круговой полосе. В момент, когда скорость достигает $14$ м/с: тангенциальное ускорение $a_t = (14 - 8)/4 = 1.5$ м/с$^2$, центростремительное ускорение $a_c = v^2/R = 14^2/25 = 7.84$ м/с$^2$, угловая скорость $\omega = v/R = 0.56$ рад/с, модуль полного ускорения $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{1.5^2 + 7.84^2} \approx 7.98$ м/с$^2$.

Это прямое применение неравномерного движения по окружности: тангенциальная составляющая $a_t = \mathrm{d}v/\mathrm{d}t$ изменяет модуль скорости, а центростремительная составляющая $a_c = v^2/R = \omega^2 R$ изменяет её направление. Полное ускорение есть векторная сумма $\vec a = \vec a_t + \vec a_c$ с указанными модулями, а $v$ и $\omega$ связаны соотношением $v = \omega R$.

Лезвие блендера радиусом $R = 4.0$ см раскручивается из состояния покоя до $3000$ об/мин за $t = 0.80$ с. Перевод: $\omega = 3000 \times 2\pi/60 = 314$ рад/с. Угловое ускорение $\alpha = \omega/t = 314/0.80 \approx 393$ рад/с$^2$. На конце лезвия: тангенциальное ускорение $a_t = \alpha R = 393 \times 0.040 \approx 15.7$ м/с$^2$, центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 R = 314^2 \times 0.040 \approx 3.9 \times 10^{3}$ м/с$^2$. Модуль полного ускорения $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} \approx 3.9 \times 10^{3}$ м/с$^2$ — доминирует центростремительная часть.

Здесь работает цепочка угловой кинематики $\omega = \omega_0 + \alpha t$, $v = \omega R$ и $a_t = \alpha R$ вместе с $a_c = \omega^2 R$; полное ускорение на конце лезвия есть $\vec a = \vec a_t + \vec a_c$, и при быстром вращении его модуль определяется центростремительным слагаемым.

Метатель молота раскручивает ядро массой $m = 7.26$ кг на тросе радиусом $R = 1.20$ м. На финальной фазе разгона скорость ядра растёт с $15$ м/с до $28$ м/с за $0.50$ с. Тангенциальное ускорение $a_t = (28 - 15)/0.50 = 26$ м/с$^2$. В момент выпуска центростремительное ускорение $a_c = v^2/R = 28^2/1.20 \approx 653$ м/с$^2$, угловая скорость $\omega = v/R = 28/1.20 \approx 23.3$ рад/с. Модуль полного ускорения $a = \sqrt{26^2 + 653^2} \approx 654$ м/с$^2$.

Ядро движется по горизонтальной окружности: центростремительное ускорение $a_c = v^2/R = \omega^2 R$ обеспечивается силой натяжения троса, а тангенциальное ускорение $a_t = \mathrm{d}v/\mathrm{d}t = \alpha R$ создаётся усилием метателя вдоль траектории. Полное ускорение $\vec a = \vec a_t + \vec a_c$ определяет силу, которую должен приложить метатель.