Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Молекулярно-кинетическая теория описывает газ как множество хаотически движущихся молекул, и в этой картине температура перестаёт быть просто числом на термометре: она измеряет среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул. Абсолютная температура $T$ отсчитывается от абсолютного нуля и выражается в кельвинах; связь со шкалой Цельсия даётся формулой $T = t + 273$ (точнее, $273{,}15$). Опыт показывает, что средняя кинетическая энергия молекулы прямо пропорциональна абсолютной температуре:

$$\bar{E}_k = \frac{3}{2}kT,$$

где $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана. Коэффициент $3/2$ возникает потому, что молекула имеет три степени свободы поступательного движения, и на каждую приходится энергия $\frac{1}{2}kT$. Важно, что $\bar{E}_k$ зависит только от $T$ и не зависит от массы молекулы или от того, какой это газ: при одной температуре молекулы гелия и кислорода имеют одинаковую среднюю кинетическую энергию, хотя скорости у них разные. При $T = 0$ К средняя кинетическая энергия поступательного движения обращается в нуль; это предельная, недостижимая температура.

Молекула газа находится при температуре $t = 27$ °C. Найдите среднюю кинетическую энергию её поступательного движения. Постоянная Больцмана $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К.

Средняя кинетическая энергия молекул некоторого газа равна $1{,}0 \cdot 10^{-20}$ Дж. Определите абсолютную температуру газа и выразите её в градусах Цельсия. $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К.

Кислород ($M = 32$ г/моль) находится при $T = 300$ К. Найдите среднюю квадратичную скорость его молекул. Сравните её со средней квадратичной скоростью молекул гелия ($M = 4$ г/моль) при той же температуре и сравните средние кинетические энергии этих газов. $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К, $N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$.

План самостоятельной работы с симуляцией (нагревать реальный газ в закрытом сосуде опасно — работаем только в модели).

1. Откройте симуляцию «Свойства газа» (PhET, вкладка с температурой и распределением скоростей). Зафиксируйте число частиц и выберите один газ, например неон.
2. Установите последовательно $T = 200$, $400$ и $800$ К. При каждой температуре запишите среднюю скорость частиц со шкалы симуляции.
3. Вычислите среднюю кинетическую энергию по формуле $\bar{E}_k = \frac{3}{2}kT$ для каждой температуры и заполните таблицу: $T$, $v_{ср}$, $\bar{E}_k$.
4. Постройте график $\bar{E}_k$ от $T$. Убедитесь, что точки ложатся на прямую через начало координат, и что при удвоении $T$ средняя скорость растёт лишь в $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ раза.
5. Смените газ (например, на аргон) при той же температуре и проверьте, что средняя кинетическая энергия не изменилась, а средняя скорость изменилась. Сформулируйте вывод одним предложением.

Показать, что средняя кинетическая энергия молекул прямо пропорциональна абсолютной температуре, одинакова для разных газов при одной температуре и обращается в нуль при $T = 0$ К.

График: по горизонтальной оси — абсолютная температура $T$ в кельвинах, по вертикальной — средняя кинетическая энергия $\bar{E}_k$. Прямая проходит через начало координат с угловым коэффициентом $\frac{3}{2}k$; на ней отмечены две совпадающие точки для гелия и кислорода при $T = 300$ К ($\bar{E}_k = 6{,}2 \cdot 10^{-21}$ Дж). Рядом — эскизы распределения молекул по скоростям (кривые Максвелла) при $T_1$ и $T_2 > T_1$: при более высокой температуре кривая ниже и шире, площадь под обеими кривыми одинакова.

Мяч накачали на улице при $-10\ ^\circ\text{C}$, то есть при $263\ \text{K}$, и внесли в раздевалку, где $+25\ ^\circ\text{C}$ ($298\ \text{K}$). Если объём мяча не изменился, манометр покажет рост давления в $\frac{298}{263}\approx1{,}13$ раза — примерно на $13\ \%$. Средняя кинетическая энергия молекулы воздуха выросла с $\bar E_k=\frac{3}{2}k_BT\approx5{,}44\times10^{-21}\ \text{Дж}$ до $\approx6{,}17\times10^{-21}\ \text{Дж}$.

Работает связь $\bar E_k=\frac{3}{2}k_BT$: абсолютная температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул, поэтому переход от $263\ \text{K}$ к $298\ \text{K}$ увеличивает среднюю энергию одной молекулы ровно во столько же раз, во сколько растёт давление при постоянном объёме.

В цилиндре двигателя смесь сгорает, и газы уходят в выпускную трубу при температуре около $700\ ^\circ\text{C}$, то есть $973\ \text{K}$. Молекула азота $N_2$ имеет массу $28\ \text{а.е.м.}=4{,}65\times10^{-26}\ \text{кг}$, среднюю энергию $\bar E_k=\frac{3}{2}k_BT\approx2{,}0\times10^{-20}\ \text{Дж}$ и среднюю квадратичную скорость $v_{rms}=\sqrt{3k_BT/m}\approx930\ \text{м/с}$ — это в $2{,}7$ раза больше скорости звука в воздухе.

Сценарий использует и саму формулу $\bar E_k=\frac{3}{2}k_BT$, и её следствие $\bar E_k=\frac{1}{2}m\overline{v^2}$, откуда $v_{rms}=\sqrt{3k_BT/m}$: температура задаёт среднюю энергию, а масса молекулы переводит эту энергию в скорость.

В кастрюле при нормальном давлении вода кипит при $100\ ^\circ\text{C}=373\ \text{K}$. Молекула воды имеет массу $18\ \text{а.е.м.}=2{,}99\times10^{-26}\ \text{кг}$, и в паре над поверхностью её средняя кинетическая энергия равна $\bar E_k=\frac{3}{2}k_BT\approx7{,}7\times10^{-21}\ \text{Дж}$, чему отвечает $v_{rms}\approx720\ \text{м/с}$. При этой же температуре лёгкая молекула гелия ($4\ \text{а.е.м.}$) имела бы $v_{rms}\approx1500\ \text{м/с}$ при той же самой энергии.

Формула $\bar E_k=\frac{3}{2}k_BT$ связывает температуру кипения со средней энергией теплового движения: при $373\ \text{K}$ эта энергия в $\frac{373}{273}\approx1{,}37$ раза больше, чем при $0\ ^\circ\text{C}$. Покинуть жидкость способны молекулы с энергией выше средней, поэтому испарение идёт даже при комнатной температуре, а кипение — при строго определённой.