Абсолютная и относительная погрешность измерения

При измерении мы получаем значение $x$, которое обычно отличается от истинного значения $x_0$. Абсолютная погрешность показывает, на сколько именно результат может отличаться от истинного значения, и имеет те же единицы, что и измеряемая величина: $\Delta x = |x - x_0|.$ Если истинное значение неизвестно, за $\Delta x$ часто принимают приборную погрешность, например половину цены деления шкалы. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к значению величины; она безразмерна и часто выражается в процентах: $\delta = \frac{\Delta x}{x_0}\cdot 100\% \approx \frac{\Delta x}{x}\cdot 100\%.$ Относительная погрешность удобна для сравнения измерений разных величин и разных масштабов: одна и та же абсолютная погрешность может быть ничтожной для большого значения и большой для малого. Поэтому при записи результата полезно указывать и абсолютную, и относительную погрешность.

Измеренная длина стержня равна $x=12.4\,\text{см}$, а истинное значение $x_0=12.5\,\text{см}$. Найдите абсолютную и относительную погрешности измерения.

Термометр показал $x=36.8\,^\circ\text{C}$, а контрольное значение равно $x_0=37.0\,^\circ\text{C}$. Найдите абсолютную погрешность в градусах Цельсия и относительную погрешность в процентах. Округлите относительную погрешность до сотых.

Сравните две записи результатов измерений: масса $m=500\pm5\,\text{г}$ и длина $l=2.0\pm0.1\,\text{см}$. Для каждой величины вычислите относительную погрешность и определите, какое измерение имеет меньшую относительную погрешность. Почему нельзя сравнивать точность только по абсолютным погрешностям?

Возьмите линейку с ценой деления $1\,\text{мм}$ и измерьте два отрезка: примерно $2\,\text{см}$ и примерно $20\,\text{см}$. За абсолютную погрешность примите половину цены деления: $\Delta x=0.5\,\text{мм}$. Для каждого отрезка вычислите относительную погрешность по формуле $\delta=\frac{\Delta x}{x}\cdot100\%$. Запишите результаты в таблицу и сделайте вывод, почему при одной и той же абсолютной погрешности относительная погрешность меньше для большего отрезка. Если линейки нет, выполните те же расчёты для виртуальной линейки в безопасной онлайн-симуляции измерений.

Показать, что абсолютная погрешность — это интервал в единицах величины, а относительная погрешность — безразмерная доля от значения, удобная для сравнения.

Диаграмма: горизонтальная шкала с измеренным значением $x$ и интервалом $x\pm\Delta x$; рядом формулы $\Delta x=|x-x_0|$ и $\delta=\frac{\Delta x}{x}\cdot100\%$. График: зависимость $\delta$ от $x$ при фиксированном $\Delta x$ — гипербола, показывающая уменьшение относительной погрешности с ростом $x$.

На кухонном термометре цена деления $1\,\mathrm{^\circ C}$. Вода для дрожжей показывает $38.0\,\mathrm{^\circ C}$, поэтому абсолютная погрешность, взятая как половина деления, $\Delta t=0.5\,\mathrm{^\circ C}$. Относительная погрешность $\varepsilon=0.5/38.0=0.013=1.3\%$. Если тот же термометр показывает $24.0\,\mathrm{^\circ C}$, та же $\Delta t=0.5\,\mathrm{^\circ C}$ даёт $\varepsilon=0.5/24.0=0.021=2.1\%$.

В сценарии используется абсолютная погрешность $\Delta t$, полученная из разрешения прибора, и связь $\varepsilon=\Delta t/t$; видно, что относительная погрешность растёт, когда измеряемая температура меньше.

Секундомер телефона показывает $12.45\,\mathrm{s}$ на дистанции 100 м. Разрешение дисплея $0.01\,\mathrm{s}$, но неопределённость реакции на старте и финише оценивают как $\Delta t=0.05\,\mathrm{s}$, поэтому результат записывают в виде $t=(12.45\pm0.05)\,\mathrm{s}$. Относительная погрешность $\varepsilon=0.05/12.45=0.0040=0.40\%$. Разница $0.05\,\mathrm{s}$ между бегунами составляет примерно $0.4\%$ от времени забега.

Здесь абсолютная погрешность выступает как неопределённость времени, а относительная погрешность — как отношение $\Delta t/t$; теория показывает, насколько фиксированная неопределённость $0.05\,\mathrm{s}$ важна по сравнению с полным временем.

Цена деления спидометра автомобиля $2\,\mathrm{km/h}$. При показании $90\,\mathrm{km/h}$ абсолютную погрешность берут $\Delta v=1\,\mathrm{km/h}$, поэтому $\varepsilon=1/90=0.011=1.1\%$. При показании $30\,\mathrm{km/h}$ та же $\Delta v=1\,\mathrm{km/h}$ даёт $\varepsilon=1/30=0.033=3.3\%$.

Пример применяет абсолютную погрешность из разрешения прибора и относительную погрешность $\varepsilon=\Delta v/v$; видно, что одна и та же неопределённость скорости составляет большую долю от меньшей скорости.